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微積分筆記

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微積分筆記

極限

極限描述當輸入逐漸接近某個值時，函數會如何變化。

這個概念幫助我們討論連續性、導數與局部變化。

極限定義

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Claude Fable 5.1high27,823

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獨自讀書卡住時，身邊沒人可問的學生
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Limit (mathematics) Mina Park

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Limit (mathematics)

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Limit (mathematics) - Wikipedia

桌面應用程式

en.wikipedia.org/wiki/Limit_(mathematics)

WIKIPEDIA

Limit (mathematics)

From Wikipedia, the free encyclopedia

In mathematics, a limit is the value that a function (or sequence) approaches as the argument (or index) approaches some value. Limits of functions are essential to calculus and mathematical analysis, and are used to define continuity, derivatives, and integrals.

In formulas, a limit of a function is usually written as

\lim_{x\to c} f(x) = L

and is read as «the limit of f of x as x approaches c equals L». See limit of a function for details.

History

Although implicit in the development of calculus in the 17th and 18th centuries, the modern idea of the limit goes back to Bolzano, who in 1817 introduced the basics of the epsilon-delta technique.

連公式都能直接寫的筆記：iDoc

記課堂內容時，需要公式就當場寫進去。標題、清單、表格和公式都整齊地放在筆記裡。

導數的定義

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導數的定義

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導數的定義

用極限求切線的斜率。

f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

平均變化率
瞬時變化率
導函數

x

$x$	$f(x)=x^2$	$f'(x)=2x$
1	1	2
2	4	4
3	9	6

論文和試卷用 iTeX

iTeX 是研究生、教授和研究人員寫論文用的 LaTeX 編輯器。公式很多的考卷寫好後按一下按鈕，旁邊就顯示 PDF。網頁版由雲端電腦完成轉換。

paper.tex

1\documentclass{article}
2\title{The Area Under a Parabola}
3\author{A. Student}
4\begin{document}
5\maketitle
6\begin{abstract}
7Area under $y=x^2$ on $[0,1]$.
8\end{abstract}
9\section{Result}
10The area is given by
11\begin{equation}
12  
13\end{equation}
14\end{document}

預覽PDF

The Area Under a Parabola

A. Student

Abstract

Area under y = x² on [0, 1].

1 Result

The area is given by

\int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3}

卡住了？馬上問 AI

讀書時遇到不懂的地方，可以直接在應用程式裡問 AI。懶得打字，也可以直接說。

AI 聊天

Minji

x\to 2

時,

\dfrac{x^2-4}{x-2}

為什麼等於

4

GPT-6 Luna

分子

x^2-4

可以分解成

(x-2)(x+2)

。和分母的

(x-2)

約分後只剩

x+2

,當

x

接近

2

時,

x+2

就接近

4

。

\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}=4

Minji

那

x=3

的時候呢?

隨便問點什麼

GPT-6 Luna

含公式的筆記和考卷也整整齊齊

我們自己開發的筆記應用程式 iDoc 可以直接插入數學公式、表格和圖片，並自動儲存。不小心刪掉了，也能還原到之前的版本。

極限 — 第2課

極限

看看 $x$ 接近 $2$ 時, $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ 接近什麼。

\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}=4

$x$	$1.9$	$1.99$	$1.999$
$f(x)$	$3.9$	$3.99$	$3.999$

約分得到 $f(x)=x+2$ ,所以極限值是 $4$ 。

和老師一起用同一份筆記

在補習班或團隊空間裡，老師和學生打開同一份筆記，學生可以直接在筆記裡看到老師留下的留言。

極限 — 第2課ML

極限描述的是：當輸入接近某個值時，函數會如何變化。

\displaystyle \lim_{x\to 4}\frac{x^{2}-16}{x-4}

Leo 老師

\displaystyle =\lim_{x\to 4}\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}

Minji

\displaystyle =\lim_{x\to 4}(x+4)=8

LLeo 老師剛剛

=\lim_{x\to 4}\frac{(x-4)(x+4)}{4-x}

再看看符號？應該是

x-4

，而不是

4-x

。

MMinji

謝謝老師！

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極限

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