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微积分笔记

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微积分笔记

极限

极限描述当输入逐渐接近某个值时，函数会如何变化。

这个概念帮助我们讨论连续性、导数和局部变化。

极限定义

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Claude Fable 5.1high27,823

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Limit (mathematics) Mina Park

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Limit (mathematics) - Wikipedia

桌面应用

en.wikipedia.org/wiki/Limit_(mathematics)

WIKIPEDIA

Limit (mathematics)

From Wikipedia, the free encyclopedia

In mathematics, a limit is the value that a function (or sequence) approaches as the argument (or index) approaches some value. Limits of functions are essential to calculus and mathematical analysis, and are used to define continuity, derivatives, and integrals.

In formulas, a limit of a function is usually written as

\lim_{x\to c} f(x) = L

and is read as «the limit of f of x as x approaches c equals L». See limit of a function for details.

History

Although implicit in the development of calculus in the 17th and 18th centuries, the modern idea of the limit goes back to Bolzano, who in 1817 introduced the basics of the epsilon-delta technique.

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记课堂内容时，需要公式就当场写进去。标题、列表、表格和公式都整齐地放在笔记里。

导数的定义

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导数的定义

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导数的定义

用极限求切线的斜率。

f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

平均变化率
瞬时变化率
导函数

x

$x$	$f(x)=x^2$	$f'(x)=2x$
1	1	2
2	4	4
3	9	6

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iTeX 是研究生、教授和研究人员写论文用的 LaTeX 编辑器。公式很多的试卷写好后按一下按钮，旁边就显示 PDF。网页版由云电脑完成转换。

paper.tex

1\documentclass{article}
2\title{The Area Under a Parabola}
3\author{A. Student}
4\begin{document}
5\maketitle
6\begin{abstract}
7Area under $y=x^2$ on $[0,1]$.
8\end{abstract}
9\section{Result}
10The area is given by
11\begin{equation}
12  
13\end{equation}
14\end{document}

预览PDF

The Area Under a Parabola

A. Student

Abstract

Area under y = x² on [0, 1].

1 Result

The area is given by

\int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3}

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AI 聊天

Minji

x\to 2

时,

\dfrac{x^2-4}{x-2}

为什么等于

4

GPT-6 Luna

分子

x^2-4

可以分解成

(x-2)(x+2)

。和分母的

(x-2)

约分后只剩

x+2

,当

x

接近

2

时,

x+2

就接近

4

。

\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}=4

Minji

那

x=3

的时候呢?

随便问点什么

GPT-6 Luna

含公式的笔记和试卷也整整齐齐

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极限 — 第2课

极限

看看 $x$ 接近 $2$ 时, $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ 接近什么。

\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}=4

$x$	$1.9$	$1.99$	$1.999$
$f(x)$	$3.9$	$3.99$	$3.999$

约分得到 $f(x)=x+2$ ,所以极限值是 $4$ 。

和老师一起用同一份笔记

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极限 — 第2课ML

极限描述的是：当输入接近某个值时，函数会怎样变化。

\displaystyle \lim_{x\to 4}\frac{x^{2}-16}{x-4}

Leo 老师

\displaystyle =\lim_{x\to 4}\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}

Minji

\displaystyle =\lim_{x\to 4}(x+4)=8

LLeo 老师刚刚

=\lim_{x\to 4}\frac{(x-4)(x+4)}{4-x}

再看看符号？应该是

x-4

，而不是

4-x

。

MMinji

谢谢老师！

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极限 — 第2课

极限

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